Cho các số phức z 1 = 1, z 2 = 2 − 3 i và các số z thỏa mãn z − 1 − i + z − 3 + i = 2 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = z − z i + z − z 2 . Tính tổng S = M + m
A. S = 4 + 2 5 .
B. S = 5 + 17 .
C. S = 1 + 10 + 17 .
D. S = 10 + 2 5 .
Đáp án B.
Số phức z 1 = 1 có điểm biểu diễn là A 1 ; 0 , số phức z 2 = 2 − 3 i có điểm biểu diễn là B 2 ; − 3
Gọi E x ; y là điểm biểu diễn của số phức z, khi đó z = x + y i , x , y ∈ ℝ
Suy ra
P = x − 1 + y i + x − 2 + y + 3 i = x − 1 2 + y 2 + x − 2 2 + y + 3 2
⇒ P = E A + E B .
Mặt khác
z − 1 − i + z − 3 + i = 2 2 ⇔ x − 1 + y − 1 i + x − 3 + y + 1 i = 2 2
⇔ x − 1 2 + y − 1 2 + x − 3 2 + y + 1 2 = 2 2 *
Gọi M 1 ; 1 , N 3 ; − 1 thì E M + E N = 2 2 = M N ⇒ Điểm E thuộc đoạn MN.
Ta có phương trình đường thẳng MN là x + y + z − 2 = 0 với x ∈ 1 ; 3
Bài toán trở thành:
Cho điểm E thuộc đoạn MN . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = E A + E B
Đặt f ( x ) = x + y − 2. Ta có
f 1 ; 0 = 1 + 0 − 2 = − 1 f 2 ; − 3 = 2 − 3 − 2 = − 3 ⇒ f 1 ; 0 . f 2 ; − 3 = 3 > 0 . Suy ra hai điểm A,B nằm cùng về một phía đối với MN . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua MN thì A ' 2 ; 1 .Khi đó
P = E A + E B = E A ' + E B ≥ A ' B = 4 .
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
E ∈ A ' B ⇒ E = A ' B ∩ M N ⇒ E 2 ; 0 hay z = 2.
Do điểm E luôn thuộc đường thẳng MN nên P = E A + E B đạt giá trị lớn nhất khi E ≡ M hoặc E ≡ N .
Có
M A + M B = 1 + 17 N A + N B = 2 5 ⇒ M A + M B > N A + N B ⇒ max P = M A + M B = 1 + 17.
Vậy
M = 1 + 7 , m = 4 ⇒ S = M + m = 5 + 17 .
bài 1 a/tìm số phức z biết \(\left|z\right|+z=3+4i\)
b/ cho các số phức z1 z2 thỏa mãn z1+3z1z2=(-1+i)z2 và 2z1-z2=3+2i.tìm modun của số phức w=\(\frac{z1}{z2}\)+z1+z2
bài 2 a/giải pt trên tập số phức 2\(z^4\)-7\(z^3\)+9\(z^2\)+2=0
b/cho số phức z=1+i\(\sqrt{3}\).Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức z , \(\overline{z}\) , -z,\(\frac{1}{z}\)
Cho các số phức z thỏa mãn z - i = z - 1 + 2 i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = ( 2 - i ) z + 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A. x - 7 y - 9 = 0
B. x + 7 y - 9 = 0
C. x + 7 y + 9 = 0
D. x - 7 y + 9 = 0
Cho số phức z thỏa mãn: |z - 1 + i| = 2. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là:
A. Một đường thẳng.
B. Một đường Parabol.
C. Một đường tròn có bán kính bằng 2.
D. Một đường tròn có bán kính bằng 4.
Đáp án C
Cách 1: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Số phức z1 được biểu diễn bởi điểm A(1;-1).
Em có: |z - 1 + i| = 2 => MA = 2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình: 
Cách 2: Đặt 
. Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Em có:
Vậ tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình: 
Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + i = 2 . Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là:
A. Một đường thẳng
B. Một đường Parabol
C. Một đường tròn có bán kính bằng 2
D. Một đường tròn có bán kính bằng 4
Đáp án C
Cách 1: Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Số phức z 1 được biểu diễn bởi điểm A(1;-1).
Em có: z − 1 + i = 2 ⇒ MA = 2 .
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm A(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình: x − 1 2 + y + 1 2 = 4 .
Cách 2: Đặt z = x + yi , x ; y ∈ ℝ . Số phức z được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Em có:
z − 1 + i = 2 ⇔ x − 1 + y + 1 i = 2 ⇔ x − 1 2 + y + 1 2 = 2 ⇔ x − 1 2 + y + 1 2 = 4
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 2 và có phương trình:
x − 1 2 + y + 1 2 = 4 .
Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn: z + 2 - i z + 1 - i = 2 Tìm môđun lớn nhất của số phức z +i
A. 2 + 2
B. 3 + 2
C. 3 - 2
D. 2 - 2
Câu 1 : Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z\) + ( 2 - i )\(\overline{z}\) = 3 - 5i. Môđun của số phức w = \(z \) - i bằng bao nhiêu ?
Câu 2 : Cho số phức \(z\) = a + bi, (a,b ∈ R ) thỏa mãn ( 3 + 2i )\(z\) + ( 2 - i )2 = 4 + i. Tính P = a - b
Cho số phức z thỏa mãn z - 2 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = ( 1 - i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
A. 2 2
B. 4
C. 2
D. 2
Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z - 1 + i = 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = z + 2 -i là
A. đường tròn tâm I(-3;2), bán kính R = 2.
B. đường tròn tâm I(3;-2), bán kính R = 2.
C. đường tròn tâm I(1;0), bán kính R =2.
D. đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 2.
